A Whirlwind Tour of Galois Theory

translatedfor a. and j.

A few years ago I found an abstract algebra book at a used book sale. Although I knew I'd probably never read it I bought it anyway, 'cause it costed just one buck and I can't never say no to cheap books! Said book stayed quietly on my bookshelf for many months, and I'd totally forget about its existence if one day I didn't suddenly found myself wanting to solve a pretty cool problem, which is proving that 26 is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 only natural number preceded by a square (25) and succeeded by a cube (27). People on Yahoo! Answers told me that it's a cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365orem by Fermat, and if I wanted to prove it I needed to know more about Unique Factorization Domain, but this is exactly cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 title of one of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 chapters in that \$1 book!

I started reading it, and immediately got hooked to its chatty tone, and soon spent many evenings solving cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 exercises or searching for solutions. Eventually I got to prove that unique property of 26 (yay!), but cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 book offers more than that -- its second half is devoted to Galois and cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory named after him. I first heard about Galois when I was a kid, and always been inspired by his life story ever since. I was so excited having a chance getting to understand Galois's ideas, but cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 chapters became, however, more and more confusing. Perhaps cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 informal style, which has worked well for elementary stuff, backfires somewhat when it comes to an advanced cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory that has many layers of abstraction. Perhaps it's just me not smart enough.

I kept pushing anyway, even doubling down after learning that Galois cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory is also used in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory of elliptic curves, anocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r topic that I really want to master. Eventually things became clearer. I guess it's true that one can make oneself smarter by working harder. I got to understand cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 individual cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365orems, but didn't see cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 big picture until I tried to do this simple looking exercise:

Exercise: find cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 minimal polynomial $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ (i.e., its coefficients are rational) that accepts $\epsilon= 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ as a root.

An elementary solution is to set $f(x) = x^3 + ax^2 +bx + c$, and turn cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 equation $f(\epsilon) = 0$ into a system of equations in $a$, $b$, and $c$. That's actually my first attempt, but cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 calculation was so laborious that I abandoned it after a few minutes. I'm going to show you a more elegant elegant solution, which should also demonstrate some of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ideas behind Galois cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory.

Galois discovered that if one knows a root of $f(x)$ one can easily calculate cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r roots. Let $\delta$ và $\omega$ be cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r two roots, we have

\[
\begin{equation}
f(x) = (x - \epsilon) (x - \delta) (x - \omega)
\end{equation}
\label{eq:f(x)}
\]

thus, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 coefficients can be computed

$$
\begin{align*}
- a &=  \epsilon+ \delta+ \omega \\
b &=  \epsilon\delta+ \epsilon\omega + \omega\delta\\
-c & = \epsilon\delta\omega
\end{align*}
$$

Because $\epsilon \notin \mathbb{Q}$ in order to reduce $f(x)$ into linear polynomials as in $\eqref{eq:f(x)}$, we have to extend $\mathbb{Q}$. If you're not familiar with field extension, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 following example might help.

Example 1: Consider $g(x) = x^2 - 2$. We can prove that $g(x)$ is an irreducible polynomial in $\mathbb{Q}$. In ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r words, it's impossible to reduce $g(x)$ into multiplicity of linear polynomials with rational coefficients. If we, however, extend $\mathbb{Q}$ by adjoining $\sqrt{2}$ to create $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, $g(x)$ is no long irreducible

$$
\begin{equation*}
g(x) = (x - \sqrt{2})(x + \sqrt{2})
\end{equation*}
$$

$\mathbb{Q}$ is a field, and

$$
\mathbb{Q}(\sqrt{2}) = \{a + b\sqrt{2}\ |\ a,\ b \in \mathbb{Q}\}
$$

is, too. Note that $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is a 2-dimensional vector space over $\mathbb{Q}$. Because $\mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, we say that $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is an extension of degree 2 over $\mathbb{Q}$. Because $-\sqrt{2} \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$,  $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ contains all cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 roots of $g(x)$, and thus is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field of $g(x)$. The name comes from cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 fact that $g(x)$ splits completely into linear polynomials over $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. In ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r words, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field of a polynomial contains all its roots.

Galois discovered that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 group of automorphisms of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field of a polynomial permutes its roots. Let $G = \{\sigma_0, \sigma_1,...,\sigma_n\}$, where $\sigma_i$ is an automorphism of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field of $f(x)$ (we're going to define it in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 next paragraph.) If we know $G$ and a root $\epsilon$, we can compute all ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r roots by computing $\sigma_i(\epsilon)$.

Let's go back to example 1. $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field of $g(x)$. Let $\sigma$ là be an automorphism of $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$. By definition, $\sigma$ is a bijective $\sigma:\ \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ satisfying

$$
\begin{align*}
&\sigma(\alpha + \beta) = \sigma(\alpha) + \sigma(\beta) \\
&\sigma(\alpha\beta) = \sigma(\alpha)\sigma(\beta)
\end{align*}
$$

for all $\alpha,\ \beta \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Thus, $\sigma$ is an isomorphism from $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ to itself.

It's trivial to prove that $\sigma(0) = 0$ and $\sigma(1) = 1$, thus $\sigma(a) = a$ với mọi $a \in \mathbb{Q}$. We say that $\sigma$ fixes $\mathbb{Q}$. Consider $\sigma(a + b\sqrt{2})$, for $a,\ b \in \mathbb{Q}$

$$
\begin{align*}
\sigma(a + b\sqrt{2}) &= \sigma(a) + \sigma(b\sqrt{2}) \\
&= a + \sigma(b)\sigma(\sqrt{2}) \\
&= a + b\sigma(\sqrt{2})
\end{align*}
$$

Hence, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 action of $\sigma$ on $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ completely depends on its action on $\sqrt{2}$.

Observation: $\sigma(\sqrt{2})$ is a root of $g(x)$. Indeed, we have $g(\sqrt{2}) = 0$, applying $\sigma$ against two sides of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 equation

$$
\begin{align*}
\sigma(g(\sqrt{2})) &= \sigma(0) \\
\rightarrow \sigma(\sqrt{2})^2 - 2) &= 0 \\
\rightarrow \sigma(\sqrt{2})^2) - \sigma(2) &= 0 \\
\rightarrow (\sigma(\sqrt{2}))^2 - 2 &= 0
\end{align*}
$$

Because $g(x)$ has two roots $\pm\sqrt{2}$, thus $\sigma(\sqrt{2}) = \pm\sqrt{2}$. That means cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 set of automorphisms of $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$, denote as $AUT(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))$, consists of two elements

$$
\begin{align*}
\sigma_0(a + b\sqrt{2}) &= a + b\sqrt{2} \\
\sigma_1(a + b\sqrt{2}) &= a - b\sqrt{2}
\end{align*}
$$

$\sigma_0$ is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 identity automorphism, because $\sigma_0(\alpha) = \alpha$ for all $\alpha \in \mathbb{Q}(\sqrt{2})$. Thus $AUT(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))$ is isomorphic to $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$.

Example 2: find cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 minimal polynomial with integer coefficients that takes $\alpha_0 = 1 + \sqrt{2}$ as a root. As we've identified that $AUT(\mathbb{Q}(\sqrt{2})) = \{\sigma_0, \sigma_1\}$ and a root, we can immediately compute cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r root which is $\alpha_1 = \sigma_1(1 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$, so $h(x) = x^2 - (\alpha_0 + \alpha_1)x + \alpha_0\alpha_1 = x^2 - 2x + 2$ is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 answer.

I hope that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 last example has demonstrated somewhat cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 beauty of Galois cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory. Our original problem can be solved in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same way. Let me restate it here so that you don't have to scroll up:

Exercise: find cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 minimal polynomial $f(x) \in \mathbb{Q}[x]$ (thus, its coefficients are rational) that takes $\epsilon= 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ as a root.

Let $\mathbb{K}$ be cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field of $f(x)$. $\mathbb{K}$ is a finite extension of $\mathbb{Q}$ by adjoining roots of $f(x)$. In ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r to find cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r roots, we need to know $AUT(\mathbb{K})$, but in order to compute $AUT(\mathbb{K})$, we need to know $\mathbb{K}$. How do we obtain $\mathbb{K}$ without knowing roots of $f(x)$?

Galois showed that because $\epsilon \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, $f(x)$ will split completely in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 splitting field $\mathbb{E}$ of $r(x) = x^3 - 2$. In ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r words, $\mathbb{K}$ is a subfield of $\mathbb{E}$.

Theorem: all irreducible $p(x) \in \mathbb{Q}[x]$ having a root in $\mathbb{E}$ has all its roots in $\mathbb{E}$.

Let $\alpha$ be a root of $f(x)$ in $\mathbb{E}$. Consider cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 series $\alpha_0, \alpha_1,...,\alpha_n$ in which $\alpha_i = \sigma_i(\alpha)$ and $AUT(\mathbb{E}) = \{\sigma_i\}$. $\alpha_i$ are cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 result of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 group of automorphisms of E acting on $\alpha$. Let $A = \{\alpha_0, \alpha_1,...,\alpha_r\}$ be cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 set of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 unique elements amongst $\alpha_i$. We can prove that

$$
\begin{equation*}
p(x) = (x - \alpha_0)(x - \alpha_1)...(x - \alpha_r)
\end{equation*}
$$

This is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 result that we use in Example 2. This trick is so important that I'm going to repeat it one more time: for a polynomial, if we know one of its roots and cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 group of automorphisms of its splitting field, we can compute all ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r roots. We already know $\epsilon$, we just need to obtain $AUT(\mathbb{E})$.

Note that $\mathbb{E} \neq \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$. In fact $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ is a proper subset of $\mathbb{E}$. According to cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 fundamental cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365orem of algebra $r(x)$ has 3 roots in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 field of complex numbers, but $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ contains only one real root, which is $\sqrt[3]{2}$, but not cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r two complex roots:

$$
\begin{align*}
\zeta_0 &= \sqrt[3]{2}\mu \\
\zeta_1 &= \sqrt[3]{2}\mu^2
\end{align*}
$$

in which $\mu = \frac{-1 + 3i}{2}$ is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 3rd primitive root of unity. Because $\zeta_0$ and $\sqrt[3]{2}$ are in $\mathbb{E}$, its quotient which is $\mu$ is also in $\mathbb{E}$. Thus, $\mathbb{E} = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \mu)$, in ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r words $\mathbb{E}$ is an extension of $\mathbb{Q}$ by adjoining $\sqrt[3]{2}$ và $\mu$.

Now we can compute $AUT(\mathbb{E})$, as we did in Example 1. With that we can compute cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r roots of $f(x)$ by computing cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 result of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 automorphisms acting on $\epsilon$. But cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re is a shortcut!

Observe that because $\epsilon \in \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$, $f(x)$ is at most degree 3. $f(x)$ can't have degree 1 because $\epsilon \not\in \mathbb{Q}$. It can't have degree 2 because its degree must divide 3. Thus, $f(x)$ has degree 3 and, thus has 3 roots.

Because $\epsilon= 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 results of $AUT(\mathbb{E})$ acting on $\epsilon$ are completely determined by cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 actions of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 automorphisms on $\sqrt[3]{2}$. But $AUT(\mathbb{E})$ acting on $\sqrt[3]{2}$ permutes cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 roots of $x^3 - 2 = 0$, thus we can immediately compute cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r two roots of $f(x)$:

$$
\begin{align*}
\delta&= 1 + \zeta_0 + \zeta_0^2 \\
\omega &= 1 + \zeta_1 + \zeta_1^2
\end{align*}
$$

Using cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 facts that $\mu^3 = 1$, and $\mu$ and $\mu^2$ are roots of $\phi(x) = x^2 + x + 1$, we can see that $f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x - 1$. Wolfram Alpha seems to agree with us, fortunately!

Based on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365se ideas and with some calculations one can come up with cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 scary-looking formulas of general solutions of polynomials of degree three and four, and also prove that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re are no general solutions for polynomials of degree five or higher. If you want to learn how to do that yourself, I recommend reading A First Course In Abstract Algebra, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 book that I bought for one buck. I also found Abstract Algebra of Dummit and Foote easy to understand.

---

Last September marked four years cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 day I joined Google. I thought I was hot shit when I started, but cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 longer I work cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 more I see how crappy was I. I've probably learned more in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 past four years than all previous combined. In my weirdest dreams, I wouldn't think that one day I'd understand Galois cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory, let alone using it to do something useful, like crypto!

Happy times.

Comments

Thuong said…
I just want to clarify some implicit ideas. We can think that things can be obtained by cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 criterion of extension of field homomorphism. Let F_1, F_2 be fields, and F_1 is subfield of F_2; a is an element in F_2, that is algebraic over F_1, and f is its minimum polynomial. Let F be anocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r field, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n any isomorphism s from F_1 into F can be extended to an isomorphism from F_1(a) into F iff a is sent to b in F, such that f^s (it is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 polynomial in F[x], whose coefficients are obtained by cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 action from s to all coefficients of f) is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 minimum polynomial of b. From this, one can realize that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 all extensions of isomorphism via splitting fields are obtained by permuting roots.

In characteristic 0, all polynomials is separable (that means, all polynomials is product of irreducible polynomials, whose have distinct roots in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ir splitting fields). And hence, any splitting field P of a polynomial f(x) over Q is Galois extension, and we have this fact, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 only subfield of P fixed under cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 action from cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 group Gal(P/Q) is Q, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 field of rational numbers.

To find cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 minimum polynomial over Q of an element p in P, we can compute cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 Galois group first. Assume that Gal(P/Q) = {s_1,...,s_n}, and set of all actions from Gal(P/Q) to p is {p^{s_1},...,p^{s_r}} where r is equal or less than n. We obtain cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 minimum polynomial of p is f_p(x) = (x - p^{s_1})...(x - p^{s_r}). It is obvious, because f_p(x) is invariant under cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 action from Gal(P/Q), and it implies all of its coefficients are in Q.

Things become much more interesting in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 case of characteristic p, because cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists non-separable polynomials.

For cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 connections between Galois groups and elliptic curves, we can see in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 book of L. C. Washington, or Silverman. In characteristic different from 2, 3; cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 Galois group acts on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 curves (defined in a field k), and hence, it also acts on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 n-torsion subgroups E[n]. We will consider here cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 case of finite fields. When gcd(n, char(k)) = 1, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 properties of Weil pairing allow us to obtain cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 matrix representation of elements in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 Galois group, especially cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 Frobenius endomorphism. Interpret this into cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 language of linear algebra, we obtain cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 famous cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365orem of Hasse-Weil.
Thai Duong said…
Whoa. This is one of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 best comments I've seen on my blog. Thanks, Thuong!
Thai Duong said…
BTW you can write Latex equations by putting cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365m between \$ and \$.
Thuong said…
Thanks, I didn't know about this, and it seems I cannot edit my comment :-(. Hope to read your posts about Math and Crypto.