$(-1)^2$

$i$ is called an imaginary number. It's unreal, because cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re is no real number whose square is $-1$. It doesn't match reality. In reality, a square of any non-zero number is always positive. Or is it?

Have you ever wondered why cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 result of multiplying a negative number with a negative number must be positive?

Multiplying two negative numbers togecá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r doesn't look natural to me. In real life we multiply when we want to count things, but I can't think of any situations where we want to multiply a negative number of things a negative number of times. Thus, in order to make sense of negative number multiplications, we have to forget reality and turn into cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 realm of abstraction.

We want to know why $(-x) * (-y) > 0$, for all positive $x$ and $y$. This question eventually boils down to: how can we prove that $(-1) * (-1) = +1$, which bocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365red me for quite sometime. Tell me, why isn't it $-1$ or even $-2$?

Even cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 great Euler resorted to an thoroughly unconvincing argument to answer this question. He reasoned that $(-1) * (-1)$ must be eicá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r $-1$ or $+1$, but it can't be $-1$, because $-1 = (-1) * (+1)$.

It took a long time before macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians realized that this rule, which is called cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 rule of signs, can't be "proved". In fact it's a definition created by macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians to preserve cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 fundamental laws of arithmetic. Macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians want to ensure that adding negative numbers to natural numbers doesn't mess up with how humans have been doing calculations. The existing laws must keep working. Let's see why this preservation desire makes $(-1) * (-1)$ equal to $+1$.

Let's take a look at this series of manipulations:

0 = -1 * 0 (see below)
   = -1 * (1 - 1) (definition of -1, which is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 additive inverse of 1)
   = -1 * 1 + (-1) * (-1) (distributive law of integers)
   = -1 + (-1) * (-1) (see below)

If we accept that $-1 * 0 = 0$, and $-1 * 1 = -1$ (more on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365se two laws in a moment), for cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 distributive law to stay correct $(-1) * (-1)$ must be cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 additive inverse of $-1$ which is $+1$; ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365rwise we would come up with a contradiction that is $0 = -2$.

But why $-1 * 0 = 0$? The only natural properties of $0$ are $0 + x = x + 0 = x$ and $x + (-x) = 0$ (which is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 definition of negative number). This is how we count. If you have $3$ dollars, adding $0$ dollars you still have 3 dollars. If I owe you $3$ dollars, and I pay you $3$, I would end up with $0$ debt. $0$ looks trivial, but its discovery is actually a significant event in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 history of macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365matics. For a long time, most people including macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians didn't welcome $0$.

Now if we apply cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 distributive law again, we can see that

(-1) * 0 + (-1) * 0 = (-1) * (0 + 0)
                             = -1 * 0
                             = 0 + (-1) * 0

We can eliminate $(-1) * 0$ from both sides, and conclude that $(-1) * 0$ must be $0$. The same technique can be used to prove that $x * 0 = 0 * x = 0$ with all $x$. Isn't that cool? Have you ever thought that this is provable?

Now cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 last mystery is why $-1 * 1 = -1$? One can say that it must be $-1$ because $-1 * -1 = +1$, but that's tautology. This is actually something we cannot prove, but we have to accept it as anocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r law to keep everything working correctly. We accept as an axiom that in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ring of integers, $x * 1 = 1 * x = x$ for all $x$.

Thus, if we want to maintain cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 rules of arithmetic we must assign $-1 * -1$ to be $+1$. Ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365rwise everything would collapse, and any calculations mixing negative and positive numbers wouldn't make any sense. In ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r words if we accept cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 rules of arithmetic as axioms, we can deduce that $-1 * -1$ must be $+1$, but if we don't it could be an arbitrary value.

---

How does betterexplained.com explain this? Much better than I do, of course. It doesn't give a proof or anything, but it gives an intuitive explanation why cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 result must be +1.

It shows that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re are two ways of making sense of multiplication: repeated addition or scaling.

The former is what we were taught in school, but it doesn't work well when we encounter negative numbers (let alone complex ones!). How do you repeatedly add a number to itself a negative number of time? No sense.

The later, on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r hand, is a great way to think about and visualize multiplication or any ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r arithmetic operations. For each multiplication, we always start at 1, and scale to cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 next position on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 number line according to cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 multiplicand. Now, multiplying with a negative number is a scale-cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n-flip operation. For example to calculate 4 * -3, we start at 1, scale to position +4, scale to position +12, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n flip back to -12.

If we start at 1, multiply by -1, we scale by 1 so we stay at cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same place, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n we flip to -1. At -1, if we multiply by anocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r -1, we scale by 1, stay at cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same place which is -1, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n flip back to 1. Thus -1 * -1 can be seen as equal to +1.

---

I hope you now understand why $(-1)^2= +1$. But what else have we learned? This little thought experiment tells us that we've taken so many rules for granted, but we actually have no ideas why cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y are true. We are like cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 monkeys in this little story that I was told a long time ago.

Pure math, if cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re's a way to distinguish it from applied math, is a game of mind. Macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians create some rules, and keep playing with cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365m until cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y found something interesting; ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365rwise cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y go back and change cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 rules.

An interesting result doesn't necessarily have any useful real world applications, but somehow a lot of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365m do. This is why cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 success of math to effectively describe or found applications in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 physical world is considered unreasonable. For example, complex number was invented to solve equations like $x^2 = -1$, but soon people discovered that it can be used to model many physical interactions. Or take elliptic curves. People started investigating cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365m just because cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y wanted to solve some integral problems, which are entirely pure math and useless. A hundred years later it's discovered that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same objects can be used to factor integers and do crypto. In fact every time we connect to Gmail, we're using cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 math of elliptic curves.

In cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 early days of macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365matics, a set of rules are considered useful if it allows macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians to solve equations. Note that macá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365maticians not only want to find useful rules, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y also want cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 exact ones. They don't want 3 rules, if 2 already do cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 trick. Let's see which rules we need to solve $x + 3 = 6$:
x + 3 = 6 (given)
-3 + x + 3 = -3 + 6 (adding -3)
x + (-3) + 3 = -3 + 6 (commutative law)
x + (-3 + 3) = -3 + 6 (associative law)
x + 0 = -3 + 6 (definition of -3)
x = -3 + 6 (property of 0)
x = 3

Thus, if we want to generalize cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 set of integers and cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 addition operation (which is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 definition of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 additive group $\mathbb{Z}$), we must at least keep cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 associative law and cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 existence of an element $e$ such that $x + e = x$ for all $x$. It turns out that this is enough to define a group, which is a much more abstract and general concept than $\mathbb{Z}$. It turns out that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re are a lot of groups (or rings or fields) out cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re in physics, in computer science, in engineering, etc. If you prove a result in group cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ory, you can use it in any groups in any ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r settings. Prove once, use everywhere!

This is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 deep insight of abstract algebra that wasn't understood for thousands of years. This is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 power of abstraction that once unleashed shall enlighten humanity for eternity.

Suddenly $i$ is no more weird or strange or whatever, isn't it? $i^2 = -1$ is just anocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r rule, and as long as it doesn't violate existing rules, but even allows us to solve more problems, it is welcome to join cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 party of cool axioms. Actually, $i$ is not more imaginary than any ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r numbers. All numbers, such as 0, 1, 6, $\pi$, $e$, and $i$, exist in our minds only. There is no physical entity that is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 number 3. Doesn't matter! As long as cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y exist in our minds, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y're real.

After all, what is reality if not an invention of our minds?

Comments

Thuong said…
It is interesting to discuss about cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365se topics. I would say cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 closure of (finite) additions in a group is also very important. Cancel cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 "finite" conditions, we may get trouble. For example: e = 1 + 1/1! + ... + 1/n! + ... , and e does not lie in Q, though any term in this series lies in Q. In this comment, we will discuss something about this "trouble", and some ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r systems of "numbers". The example above shows us that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re are "holes" in Q. That means, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists sequences, whose terms lie in Q, but its limit does not lie in Q anymore.

Kronecke said: "God made cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 integers, all else is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 work of man". From integers, we can build Q, because Q is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 fraction field of Z. Now, how to construct R? Just filling out all holes. For example, \pi = 3,141592... we can see that, in fact, \pi is a limit of a sequence {3; 3,1; 3,14; 3,141; ...}. And it is tempting to think that a real number is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 limit of a sequence in Q, such sequence is called Cauchy's sequence. In this case, a sequence {a_n} in Q is called Cauchy sequence if for sufficient large integer N, a_n is very "close" to a_m, for all m, n larger than N (in a more formal language: for all \epsilon > 0, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists an integer N_{\epsilon}, such that for all m, n > N_{\epsilon}, |a_m - a_n| < \epsilon).

Let S be cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 set of all Cauchy sequence in Q, we define an equivalent relation r in this set. Say, {a_n} r {b_n} if lim {a_n-b_n} = 0 (Think: e = 2.71828... = {2; 2,7; 2,71, ...} = 1 + 1/1! + ... + 1/n! + ... = {1; 2; 2,5; ...}, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 two sequences are different, but cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y just represent cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same number e). And what we do now is taking representative of each equivalent class S/r. It is our R, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 field of real number. By this construction (due to Cauchy), R is "complete". That is, any Cauchy sequence in R converges in R.

By cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 completeness of R, we can do cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same process to complete any "metric" space, which is a set, where elements are called points, with distance function defined between two points, that satisfies some axioms:

1/ The distance is non-negative real number.
2/ If x != y are two points, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365ir distance is positive real number. And cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 distance from x to x is zero.
3/ The distance from x to y is equal to cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 distance from y to x.
4/ The distance satisfies cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 triangle inequality.

We can see, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 usual metric on Q is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 absolute value. That is d(x,y) (denoted cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 distance between two points x, y in Q) = |x-y|. But it is not cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 only metric on Q. We have ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r metric on Q, that brings much arithmetic information than cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 usual metric. It is p-adic metric.

We will start with Z, let p be a prime in Z. For any a in Z, we can write a = q.p^r, where (gcd(p,q)=1). And we denote |a| = 1/p^r (that means, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 higher power of p that a has in its factorization, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 smaller |a| is). For example, let p = 2, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n |18| = 1/2, |12| = 1/4. And cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 distance in this case is d(a,b) = |a - b|. It is a metric on Z. And |a-b| \le 1/p iff a = b (mod p). We say, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 (p-adic) distance between cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 two integers is smaller or equal to 1/p iff p | (a-b). It is cool! We have just interpreted arithmetic information to analysis language.

Now, it is easy to extend this metric to Q, by |a/b| = (c/d)p^r, where gcd(c,p) = gcd(d,p) = 1, and r is an integer (note that r can be negative). We now complete Q by this p-adic metric to obtain cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 field of p-adic number Q_p. It brings much more arithmetic information than R, and it is used to study "WHAT MADE BY GODS" (cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 integers :D).

It is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 analytic construction of Q_p. There is also an algebraic construction, and of course, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365y are cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 same. But looking an object by many ways can help us understand more throughly about its properties, and its relations to ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r objects.

For ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r example, we now come back to cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 ocá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365r aspects of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 first part of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 post, what can we understand about cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 multiplication in Z? I think it is an interesting question to think of and discuss.
Unknown said…
This comment has been removed by a blog administrator.
Thai Duong said…
Thanks for cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 comment, Thuong. It's cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 first time I see such a definition of R and it's really cool :).

Can you please shed some light on what you think about multiplication in Z?
Thuong said…

It is great to see your interest. I would love to share my thought on cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 topic. But please give me more time, I cannot write a full comment at this time.