Posts

Tales of The Cryptographer

Once upon a time most people thought that RSA encryption was unbreakable, until a cryptographer demonstrated a plaintext-recovery attack. The attack, a.k.a cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 million message attack, became instant classic and is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 root of all error oracle attacks including padding oracle. It was 20 years ago.
There were a lot of criticisms against cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 Digital Signature Algorithm when it was introduced in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 early 90s, but nobody actually came up with any concrete attacks, until a cryptographer demonstrated a private key-recovery attack. The attack, which exploits a leakage of a fraction of a bit, became legendary, and still works against most naive implementations. It was 15 years ago.
Hal Finney, who was probably cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 person that designed or co-designed Bitcoin, was once excited about a signature-forging attack against RSA. The attack was discovered by a cryptographer, who developed an exploit using only paper and pencil. It turned out that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 attack can be used to forge CA certificates, which cou…

A Whirlwind Tour of Galois Theory

translatedfor a. and j.

A few years ago I found an abstract algebra book at a used book sale. Although I knew I'd probably never read it I bought it anyway, 'cause it costed just one buck and I can't never say no to cheap books! Said book stayed quietly on my bookshelf for many months, and I'd totally forget about its existence if one day I didn't suddenly found myself wanting to solve a pretty cool problem, which is proving that 26 is cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 only natural number preceded by a square (25) and succeeded by a cube (27). People on Yahoo! Answers told me that it's a cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365orem by Fermat, and if I wanted to prove it I needed to know more about Unique Factorization Domain, but this is exactly cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 title of one of cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 chapters in that \$1 book!

I started reading it, and immediately got hooked to its chatty tone, and soon spent many evenings solving cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 exercises or searching for solutions. Eventually I got to prove that unique property of 26 (yay!), but cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 book offers more…

Đường đến Galois

Hai tháng nay tôi đi vòng vòng chơi ở Châu Âu, vác cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365o mấy cuốn sách, định bụng sáng đi chơi, tối về đọc toán cho sang. Rốt cuộc toàn chơi, chẳng đọc được mấy chỉ có lâu lâu mở ra đọc được vài trang để cho dễ ngủ. Nghĩ bụng đọc kiểu này chắc chẳng thu được gì, ai dè lại hiểu được lý thuyết Galois. Có lẽ nhờ ăn đồ Pháp?

Tôi đọc về lý thuyết Galois mấy tháng rồi, nhưng chỉ hiểu lờ mờ. Tôi chỉ nhận ra sức mạnh của Galois cho đến khi làm bài tập đơn giản này:

Bài tập: tìm đa thức nhỏ nhất (minimal polynomial) $f(x)$ thuộc $\mathbb{Q}[x]$ (tức có các hệ số hữu tỉ) nhận $\epsilon= 1 + \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ là nghiệm.

Có một cách giải sơ cấp là dự đoán $f(x)$ sẽ có bậc 3 ở dạng $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$, thế $\epsilon$ vô, khai triển rồi quy về hệ phương trình cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365o $a$, $b$ và $c$. Mới đầu tôi làm cũng vậy, nhưng sau đó thấy "cơ bắp" quá nên dẹp sang một bên. Vậy áp dụng Galois thế nào?
Galois chỉ ra rằng chỉ cần biết một nghiệm của $f(x)$ là có thể …