Posts

Showing posts with cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 label NTB

Solutions manual for NTB - 1.1 Divisibility and primality

Image
Exercise 1.1. Let with . Show that if and only if .

Proof

(q.e.d).


Exercise 1.2. Let be a composite integer. Show that cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists a prime dividing with .

Proof

We use strong induction. Let be cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 proposition that for all composite integer , cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists a prime dividing with .

Base case: is true.

Inductive step: Now we must show that imply for all composite integer . Since is a composite, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists so that with (if , we just swap cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365m).

If is a prime, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n is true since divides and . If is a composite, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365n according to cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 induction assumption, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365re exists a prime that divides . This prime also divides with . So P(n) is true.

Therefore, cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 claim is true by strong induction for all composite integer n (q.e.d).


Exercise 1.3. Let be a positive integer. Show that for every real number ,cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 number of multiples of in cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 interval is ; in particular, for every integer , cá cược thể thao bet365_cách nạp tiền vào bet365_ đăng ký bet365 number of multiples of among is .

Proof

* The first claim: applying Theorem 1.4 with and